FORMULA GENERAL

 
Fórmula genera:


 ecuaciones cuadráticas, ejemplos, ejercicios

La fórmula general, que también se conoce como la fórmula resolvente en algunos textos, se utiliza para resolver ecuaciones de segundo grado: ax2 + bx + c = 0.


En ellas a, b y c son números reales, con la condición de que a sea diferente de 0, siendo x la incógnita. Entonces, la fórmula general presenta el despeje de la incógnita mediante una expresión que involucra los valores de a, b y c de la siguiente manera:

Figura 1. La fórmula general en matemática se utiliza para resolver ecuaciones cuadráticas. Fuente: F. Zapata.

Y mediante esta fórmula se puede encontrar la solución de cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática, siempre que dicha solución exist

Según los historiadores, la fórmula general era conocida ya por los antiguos matemáticos babilonios. Posteriormente fue transmitida a otros pueblos, como los egipcios y los griegos, mediante intercambios culturales

Vamos a ver cómo surge la fórmula general, para así comprobar su validez. Partiendo de una ecuación cuadrática general:

ax2 + bx + c = 0

Pongamos en práctica algunas manipulaciones algebraicas simples, para lograr el despeje de la incógnita. Hay varias formas de llevar esto a cabo, por ejemplo completando cuadrados, como se muestra seguidamente.

Demostración de la fórmula general

Comenzamos por sumar (–c) a ambos lados de la igualdad:

ax2 + bx = – c

Y ahora se multiplica por 4a, siempre a ambos lados de la igualdad, para no alterar la expresión:

4a2 x2 + 4ab x = – 4ac

Sumando b2:

4a2⋅x2 + 4ab⋅x + b2 = – 4ac + b2

La finalidad de esto es completar cuadrados en el lado izquierdo de la igualdad, el que contiene la incógnita, de esta manera se facilita su despeje. De esta forma

-El primer término: 4a2 x2 es el cuadrado perfecto de 2ax

-El último, que es b2, es el cuadrado perfecto de b.

-Y el término central es el doble producto de 2ax y b: 2⋅2ax⋅b = 4abx

Por lo tanto tenemos un binomio al cuadrado:

4a2⋅x2 + 4ab⋅x + b2 = (2ax + b)2

Y podemos escribir:

(2ax + b)2 = – 4ac + b2

Estamos a un paso de despejar la incógnita x:

Y ya obtenemos la fórmula general que conocemos:

Hay otras formas de manipular algebraicamente la ecuación cuadrática y obtener este mismo resultado.

Ejemplos de uso de la fórmula general

Para aplicar la fórmula general se determinan cuidadosamente los valores de a, b y c y se sustituyen en la fórmula. Nótese el símbolo más/menos en el numerador; esto indica que debemos considerar dos posibilidades en cuanto a la operación, una con el signo + y otra con el signo -.

La ecuación cuadrática puede tener las siguientes soluciones, de acuerdo al valor de la cantidad sub-radical, conocida como discriminante:

-Si b2 – 4ac > 0, la ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales y diferentes.

-Cuando b2 – 4ac = 0, la ecuación tiene solución única, dada por:

x = -b/2a

-Finalmente, si b2 – 4ac < 0, la ecuación no tiene soluciones reales, pero sí tiene soluciones complejas.

Veamos algunos ejemplos en los cuales se aplica la fórmula general, notando que si alguno de los coeficientes que acompañan a la incógnita no aparece, se entiende que vale 1. Y si el término independiente es el que no se encuentra, entonces vale 0.

– Ejemplo 1

Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas:

a) 6x2 + 11x -10 = 0

b) 3x2 -5x -1 = 0

Respuesta a

Escribimos los coeficientes de cada término: a = 6, b = 11, c = -10 y sustituimos los valores en la fórmula general

x= (-11 ± 19) /12

El resultado conduce a las siguientes dos soluciones reales:

x1 = (-11 + 19)/12 = 8/12 = 2/3

x2 = (-11 – 19)/12= -5/2

Respuesta b

Nuevamente se determinan los coeficientes: a = 3, b = -5 y c = -1. Al sustituir en la fórmula:

A diferencia del caso anterior, la raíz cuadrada de 37 no es un número entero, pero igualmente podemos plantear las dos soluciones y dejar la raíz o bien encontrar el valor decimal correspondiente con la ayuda de la calculadora:

x1 = (-5 + √37)/6 ≈ 0.18

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